Saterdag 06 April 2013

Hubungan fungsi trigonometri

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1 \,$

$1 + \tan^2 A = \frac{1}{\cos^2 A} = \sec^2 A\,$

$1 + \cot^2 A = \csc^2 A \,$

$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}\,$

Penjumlahan

$\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \,$

$\cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \,$

$\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \,$

$\tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} \,$

Rumus sudut rangkap dua

$\sin 2A = 2 \sin A \cos A \,$

$\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2 \cos^2 A -1 = 1-2 \sin^2 A \,$

$\tan 2A = {2 \tan A \over 1 - \tan^2 A} = {2 \cot A \over \cot^2 A - 1} = {2 \over \cot A - \tan A} \,$

Rumus sudut rangkap tiga

$\sin 3A = 3 \sin A - 4 \sin^3 A \,$

$\cos 3A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A \,$

Rumus setengah sudut

$\sin \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}} \,$

$\cos \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}} \,$

$\tan \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}} = \frac {\sin A}{1+\cos A} = \frac {1-\cos A}{\sin A} \,$

Hm..kali ini kita akan membahas pelajaran trigonometri lagi, buat adik-adik yang pernah membahas persoalan trigonometri semua pasti kenal dengan sudut-sudut istimewa. Bagi yang gak tau, mari kita ingat-ingat lagi

Sudut-sudut Istimewa Pada Kuadran I

Nah, untuk memahami dan menghafalkan sudut-sudut trigonometri, kita harus hafal dulu tabel sudut-sudut istimewa diatas. Kalo sudah, sekarang kita pahami konsep kuadran I, II, III dan IV

Memahami Konsep Kuadran

Pada kuadran I (0 – 90) , semua nilai sin, tan dan cos bernilai positif —> “semua”

Pada kuadran II (90 – 180) , hanya sin bernilai positif —> sin dibaca “sindikat”

Pada kuadran II (180 – 270) , hanya tan bernilai positif —> tan dibaca “tangan”

Pada kuadran II (270 – 360) , hanya cos bernilai positif —>cos dibaca “kosong”

Jadi, untuk mengingat gambar diatas hafalkan kalimat : “Semua Sindikat Tangannya Kosong”

Mari sekarang, kita mempelajari tentang perubahan sudut.

Jika kita diminta untuk menghafalkan semua sudut-sudut trigonometri tentunya kesulitan karena tidak tahu konsepnya, seperti jika ditanya : berapa sin 330 ? Cos 315? tan 300 dan sebagainya. Pertanyaan tentang trigonometri sudut-sudut yang tidak ada pada tabel sudut istimewa tentunya membingungkan jika kita tidak tau cara praktisnya. Berikut akan saya bantu untuk memahaminya.

Misalkan kita mau menghitung sudut :

contoh 1 : Hitunglah nilai cos 210 ?

cos 210 —-> berada dikuadran III —-> pasti negatif, jadi jawaban harus negatif

cos 210 = cos (180 +30) = - cos 30 = -1/2√3

jadi nilai cos 210 = – 1/2 √3 (minus setengah akar tiga)

contoh 2 : Hitunglah nilai sin 300 ?

sin 300 —-> berada di kuadran IV —-> pasti negatif, jadi jawaban harus negatif

sin 300 = sin (270 + 30) = – cos 30 = 1/2√3

jadi nilai sin 300 = – 1/2 √3 (minus setengah akar tiga)

Nah, saya yakin masih ada yang bingung kan?? Kok bisa cos 210 = – cos 30, trus kok bisa sin 300 = – cos 30

Begini KONSEP nya : misalkan diketahui sudut sebesar x

JIka kita merubah sudut x menjadi sudut y maka kita dapat menggunakan patokan pada nilai 90, 180, 270, dan 360. Misalnya sudut 210 = sudut (180 + 30) atau boleh juga sudut 210 = sudut (270 – 60), yang penting di ingat, kita harus merubah sudut tersebut sehingga mengandung sudut-sudut istimewa pada kuadran satu seperti 30, 45, 60, sehingga mudah untuk menghitungnya.

Untuk Perubahan Sudut tadi ada hal yang terpenting untuk di pahami

JIka kita menggunakan 90 dan 270 maka konsepnya “BERUBAH”

sin berubah menjadi cos

cos berubah menjadi sin

tan berubah menjadi cotan

Jika kita menggunakan 180 dan 360 maka konsepnya “TETAP”

sin tetap menjadi sin

cos tetap menjadi cos

tan tetap menjadi tan

Mari untuk menutup pembahasan ini kita coba dengan contoh berikutnya,

contoh 3 : Hitung nilai sin 150 ?

sin 150 —-> berada dikuadran II —-> pasti positif, jadi jawaban harus positif

sin 150 = sin (90 + 60) = + cos 60 = +1/2 (positif setengah) —–> ingat sudut 90 KONSEP “BERUBAH”

atau

sin 150 = sin (180 – 30) = + sin 30 = +1/2 (positif setengah) —–> ingat sudut 180 KONSEP “TETAP”

Okey, demikian dulu tentang memahami perubahan sudut untuk menghafalkan nilai sudut-sudut trigonometri dengan praktis, di lain waktu kita lanjutkan dengan pembahsan tentang materti matematika lainnya. Semoga bermanfaat. Jika ada pertanyaan kontak aja ke : muhar5yah@yahoo.com

http://www.matematiktutkusu.com/uploads/posts/2011-02/1298201020_oranlar.jpg

Dimisalkan sebuah segitiga siku-siku ABC sembarang seperti Gambar 6 berikut ini.

Gambar 6
Untuk lebih mudahnya kita menyatakan sudut-sudutnya sebagai sudut A, sudut B, dan sudut C dengan C sebagai titik sudut siku-sikunya, dan menyatakan sisi-sisi yang berhadapan dari sudut-sudutnya sebagai a, b, dan c. terhadap sudut A, a disebut sisi depan dan b disebut sisi samping dan c sebagai sisi miring(hipotenusa).
Maka definisi fungsi trigonometri dari segitiga tersebut adalah:

http://pteroos4physics.files.wordpress.com/2009/09/sin2.jpg?w=460

Trigonometri Formülleri

Trigonometrik ilişkiler

Trigonometrik dönüşümler negatif-pozitif

Trigonometrik toplama ve çıkarma

SUDUT-SUDUT ISTIMEWA

Diposkan oleh sastrawati On Minggu, 30 Januari 2011 0 komentar

Sudut – sudut Istimewa dan Trigonometri

28 01 2011 Hai Teman – teman, kali ini kita akan membahas pelajaran trigonometri, buat Teman – teman yang pernah membahas persoalan Trigonometri semua pasti kenal dengan sudut-sudut istimewa/sama aja dengan tabel Trigonometri.. berikut Tabel sudut-sudut istimewa/Trigonometrinya..

=> Tabel Sudut Istimewa

=> Tabel Trigonometrinya

=> Sudut-sudut Istimewa Pada Kuadran I

Sekarang, untuk memahami dan menghafalkan sudut-sudut trigonometri, kita harus hafal dulu tabel sudut-sudut istimewa diatas. Kalo sudah, sekarang kita pahami konsep kuadran I, II, III dan IV

=> Memahami Konsep Kuadran

Pada kuadran I (0 – 90) , semua nilai sin, tan dan cos bernilai positif —> “semua”
Pada kuadran II (90 – 180) , hanya sin bernilai positif —> sin dibaca “sindikat”
Pada kuadran II (180 – 270) , hanya tan bernilai positif —> tan dibaca “tangan”
Pada kuadran II (270 – 360) , hanya cos bernilai positif —>cos dibaca “kosong”
Jadi, untuk mengingat gambar diatas hafalkan kalimat : “Semua Sindikat Tangannya Kosong”
Mari sekarang, kita mempelajari tentang perubahan sudut.
Jika kita diminta untuk menghafalkan semua sudut-sudut trigonometri tentunya kesulitan karena tidak tahu konsepnya, seperti jika ditanya : berapa sin 330 ? Cos 315? tan 300 dan sebagainya. Pertanyaan tentang trigonometri sudut-sudut yang tidak ada pada tabel sudut istimewa tentunya membingungkan jika kita tidak tau cara praktisnya. Berikut akan saya bantu untuk memahaminya.
Misalkan kita mau menghitung sudut :
contoh 1 : Hitunglah nilai cos 210 ?

cos 210 —-> berada dikuadran III —-> pasti negatif, jadi jawaban harus negatif
cos 210 = cos (180 +30) = - cos 30 = -1/2√3
jadi nilai cos 210 = – 1/2 √3 (minus setengah akar tiga)

contoh 2 : Hitunglah nilai sin 300 ?
sin 300 —-> berada di kuadran IV —-> pasti negatif, jadi jawaban harus negatif
sin 300 = sin (270 + 30) = – cos 30 = 1/2√3
jadi nilai sin 300 = – 1/2 √3 (minus setengah akar tiga)
Nah, saya yakin masih ada yang bingung kan?? Kok bisa cos 210 = – cos 30, trus kok bisa sin 300 = – cos 30
Begini KONSEP nya : misalkan diketahui sudut sebesar x
JIka kita merubah sudut x menjadi sudut y maka kita dapat menggunakan patokan pada nilai 90, 180, 270, dan 360. Misalnya sudut 210 = sudut (180 + 30) atau boleh juga sudut 210 = sudut (270 – 60), yang penting di ingat, kita harus merubah sudut tersebut sehingga mengandung sudut-sudut istimewa pada kuadran satu seperti 30, 45, 60, sehingga mudah untuk menghitungnya.
Untuk Perubahan Sudut tadi ada hal yang terpenting untuk di pahami
JIka kita menggunakan 90 dan 270 maka konsepnya “BERUBAH”
sin berubah menjadi cos
cos berubah menjadi sin
tan berubah menjadi cotan
Jika kita menggunakan 180 dan 360 maka konsepnya “TETAP”
sin tetap menjadi sin
cos tetap menjadi cos
tan tetap menjadi tan
Mari untuk menutup pembahasan ini kita coba dengan contoh berikutnya,
contoh 3 : Hitung nilai sin 150 ?
sin 150 —-> berada dikuadran II —-> pasti positif, jadi jawaban harus positif
sin 150 = sin (90 + 60) = + cos 60 = +1/2 (positif setengah) —–> ingat sudut 90 KONSEP “BERUBAH”
atau
sin 150 = sin (180 – 30) = + sin 30 = +1/2 (positif setengah) —–> ingat sudut 180 KONSEP “TETAP”

Perbandingannya dinyatakan sebagai:

sin A = a/c
cos A = b/c
tan A = sin A/cos A = a/b
sec A = 1/cos A = c/a
cosec A = 1/sin A = c/b
cot A = 1/tan A = b/a = cos A/sin A

ke 6 fungsi diatas berguna buat menentukan besar suatu sudut atau mencari panjang suatu sisi bila sisi yang lain dan suatu sudut diketahui.

Rumus-rumus lain yang perlu dihapalkan dalam taraf SMA antara lain (catatan; lambang alfa dan beta yang digunakan di sini adalah sebagai pengganti besarnya sudut):

http://upload.wikimedia.org/math/0/6/1/061e364034891c06041eee2f41cde843.png

http://upload.wikimedia.org/math/a/b/3/ab33646680ac3d1733b4dd69b0742585.png

http://upload.wikimedia.org/math/f/7/2/f72c407d5a3a7a095152b883bfe2b65f.png

http://upload.wikimedia.org/math/2/9/e/29eb4e311ecca45d81472b551d1874f1.png

http://upload.wikimedia.org/math/d/f/6/df6f7f576e0c7800cc1b26074313add1.png

http://upload.wikimedia.org/math/9/6/2/962b243c08aa6cb48ebe7dd9a64c58a2.png

dimana

selain itu, ada juga hukum sin dan cos yang digunakan dalam segitiga sebagai berikut:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/9/9f/Triangle_ABC_with_Sides_a_b_c.png

rumus c kuadrat diatas, bisa ditukar c menjadi b atau a asal cos nya diganti jadi a dan b juga.....terus persamaan di ruas kanannya juga diganti abc nya....

selesai...

intinya di jenjang sma mah, apalin aja rumusnya...aman dah....

Salah satu cara menghitung sudut adalah dengan sebutan derajat. Satu putaran arah jarum jam adalah 360 derajat. Maka 180⁰ adalah setengah dari putaran, -270⁰merupakan tiga perempat dari putaran.

Dapat dijelaskan bahwa sinX dan cosX sebagai fungsi bagi sudut x yang diukur didalam radian

Empat fungsi trigonometri lainnya adalah
Tan = sin x/ cos x
Kot = cos x/ sin x
Sec = 1/ cos x
Cosec = 1/ sin x

Quiz
1. Selesaikan persamaan-persamaan berikut:
a. ? radian =
b. 2 ? / 3 radian =
c. 0⁰ =
d. ?60⁰ =
2. Lengkapi tabel fungsi trigonometri sin(x) dan cos(x) berikut

3. Gambarkan grafik fungsi trigonometri berikut:
a. y = 2sin(x), dengan x dalam radian
b. y = cos(2x), dengan x dalam derajat
4. Jelaskan identitas trigonometri (trigonometry identities) berikut dan
berikan contohnya
a. Identitas perbandingan (ration indenties)
b. Fungsi kebalikan (inverse functions)
c. Identitas Phytagoras (Phytagorean identities)
Jawaban
? rad = 180 °
2/3 rad = 2/3 x 180 ° = 120°
0° = 0 rad
-60° = 1/3 ? rad

Woensdag 20 Maart 2013

Memperlancar Latihan Deret Aritmetika (Aritmatika, Matematika)

Posted on Oktober 13, 2009 | 6 Komentar

Untuk sementara mari kita anggap sama saja antara barisan aritmetika dan deret aritmetika. Begitu juga aritmetika = aritmatika.
Deret aritmetika adalah formula matematika yang sangat bagus untuk melatih nalarmatika anak-anak kita.
Misalnya, Paman APIQ sering melontarkan pertanyaan,
“Berapakah jumlah dari 1 + 2 + 3 + … … … + 99 + 200 = ?”
Al, Geo, Meti dan anak-anak lain menyukai tantangan-tantangan deret aritmetika seperti itu.
Kali ini, Paman APIQ akan mengajak kita untuk bermain-main dengan rumus Un deret aritmetika, suku ke-n.
Deret aritmetika merupakan deret yang beda antara suku berdekatan selalu sama = b. Misal b = 3 dan suku ke-1 = 2 maka kita memiliki deret aritmetika:
2, 5, 8, 11, 14, ….
Berapakah nilai suku ke-10?
Suku ke-1 = U1 = 2
U2 = 2 + 3 = 5
U3 = 2 + (3+3) = 8
U10 = 2 + (3×9) = 29
Berapakah suku ke-101?
U101 = 2 + (100×3) = 302.
Sehingga secara umum, rumus suku ke-n adalah
Un = U1 + (n-1)b
Untuk contoh di atas,
Un = 2 + (n-1).3
= 2 + 3n – 3
= 3n – 1
Contoh, berapakah suku ke-200?
U200 = 3.200 – 1 = 599 (selesai)
Berapakah U300, U500, U900 =?
Analisis sebaliknya juga dapat kita lakukan. Bila diketahui Un maka kita dapat langsung tahu b dan U1. Misal,
Un = 3n – 1; tentukan b dan U1.
b = 3 (tampak jelas dari 3n)
U1 = 3.1 – 1 = 2 (selesai).
Un = 20n – 3; tentukan b dan U1.
b = 20
U1 = 20 – 3 = 17
Un = 35n + 9; tentukan b dan U1.
b = 35
U1 = 44
Umumnya U1 juga disebut sebagai a = U1.

gatotsunaryo

Saterdag 06 April 2013

Woensdag 20 Maart 2013

Memperlancar Latihan Deret Aritmetika (Aritmatika, Matematika)

Meer oor my