DAFTAR ISI

A.      Pendahuluan___Hal. 3

B.       Vektor di Ruang Dimensi Dua (R²)___Hal. 3

C.       Vektor di Ruang Dimensi Tiga (R³)___Hal. 5

D.      Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian Vektor dengan Skalar___Hal. 7

E.       Hasil Kali Titik Dua Vektor___Hal. 9

F.        Proyeksi Ortogonal suatu Vektor___Hal. 10

G.      Hasil Kali Silang Dua Vektor___Hal. 12

DAFTAR PUSTAKA___Hal. 15

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1 : Vektor posisi titik A di R²___Hal. 4

Gambar 2 : Vektor posisi titik A di R³ ___Hal. 6

Gambar 3 :  +    ___Hal. 7

Gambar 4 :  +    =     +   ___Hal. 7

Gambar 5 : ___Hal. 8

Gambar 6 : ___Hal. 8

Gambar 7 : Sudut antara vektor  dan ___Hal. 9

Gambar 8 : Vektor  dan vektor ___Hal. 10

Gambar 9 : Proyeksi ortogonal vektor  pada vektor ___Hal. 11

VEKTOR^*)

Dalam materi ini akan dibahas mengenai vektor dalam ruang dimensi dua (R²); vektor dalam ruang dimensi tiga (R³); penjumlahan, pengurangan, dan perkalian scalar dengan vektor; hasil kali titik (dot product) dua vektor; proyeksi ortogonal suatu vektor; dan hasil kali silang (cross product) dua vektor.

A.      Pendahuluan

Vektor merupakan ruas garis berarah yang dinyatakan sebagai pasangan terurut yang disebut vektor kolom. Notasi-notasi vektor diantaranya adalah , b, , , , atau .

Mengingat bahwa vektor memiliki arah, maka jika suatu vektor dinyatakan dalam dua huruf kapital, maka urutan huruf-huruf tersebut harus diperhatikan, .

Vektor nol dinotasikan dengan 0 adalah suatu vektor khusus karena memiliki ukuran 0 dan akibatnya vektor tersebut tidak memiliki arah. Vektor khusus lainnya adalah vektor satuan yaitu suatu vektor yang memiliki ukuran 1.

Ukuran suatu vektor lebih umum disebut sebagai panjang vektor (norm of a vector). Dua vektor dikatakan sama (equivalent vectors) jika memiliki panjang dan arah yang sama.

B.       Vektor dalam Ruang Dimensi Dua (R²)

Vektor dalam R² diwakili oleh dua besaran yang disebut komponen x dan komponen y. Vektor dalam dalam R² dapat digambarkan dalam suatu sistem koordinat Cartesius (bidang).

Bentuk umum sebarang vektor  di R² adalah , , atau , dengan  adalah komponen x dan  adalah komponen y dari vektor .

Vektor-vektor dan  berturut-turut merupakan vektor satuan di R² dan adalah vektor nol di R².

Vektor posisi  titik  dinotasikan dengan  adalah suatu vektor yang dimulai dari titik  dan berakhir di titik , ditulis . Titik  disebut titik pangkal dan titik  disebut titik ujung dari vektor .

Sebagai contoh, vektor posisi titik  adalah suatu vektor yang memiliki titik pangkal  dan titik ujung  ditulis . Perhatikan Gambar 1 di bawah ini.

Gambar 1 : Vektor posisi titik A (6, 4)

Sedangkan vektor  adalah suatu vektor yang memiliki titik pangkal  dan titik ujung , ditulis .

Perhatikan bahwa , dikatakan bahwa vektor  merupakan lawan dari vektor . Vektor  dapat juga dinotasikan dengan  , dengan demikian vektor dinotasikan dengan –  .

Panjang vektor dinotasikan dengan  atau , dan didefinisikan bahwa .

Contoh 1:

Panjang vektor adalah

Jika diketahui titik  dan titik    maka  vektor dapat dinyatakan sebagai

 

           

C.      Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga (R³)

Vektor dalam R³ diwakili oleh tiga besaran yang disebut komponen x, komponen y, dan komponen z.

Bentuk umum sebarang vektor  di R³ dinotasikan dengan ,  , atau , dengan  adalah komponen x,  adalah komponen y, dan  adalah komponen z dari vektor ,

Vektor-vektor , dan  berturut-turut merupakan vektor satuan di R³ dan adalah vektor nol di R³.

Vektor posisi titik  dinotasikan dengan  adalah suatu vektor yang dimulai dari titik  dan berakhir di titik , ditulis . Titik  disebut titik pangkal dan titik  disebut titik ujung dari vektor .

Sebagai contoh, vektor posisi titik  adalah suatu vektor yang memiliki titik pangkal  dan titik ujung , ditulis . Perhatikan Gambar 2 di berikut ini.

Gambar 2 : Vektor posisi titik A (4, 6, 2)

Sedangkan vektor  adalah suatu vektor memiliki titik pangkal  dan titik ujung , ditulis .

Perhatikan bahwa , dikatakan bahwa vektor  merupakan lawan dari vektor . Vektor  dapat juga dinotasikan dengan  , dengan demikian vektor dinotasikan dengan –  .

Panjang vektor dinotasikan dengan  atau  , dan didefinisikan bahwa .

Contoh 2:

Panjang vektor adalah

Jika diketahui titik  dan titik   maka  vektor dapat dinyatakan sebagai

 

D.      Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian Skalar dengan Vektor

Misalkan diketahui sebarang vektor-vektor tak nol , , dan skalar tak nol .  Operasi yang dapat dilakukan atas vektor  , vektor  , dan suatu skalar   diantaranya adalah operasi penjumlahan vektor, pengurangan vektor, dan perkalian vektor dengan skalar.

Berikut ini adalah definisi-definisi dan teorema yang berlaku pada operasi tersebut.

Definisi 1:

 +    adalah suatu vektor yang ditentukan dengan cara: meletakkan vektor   sedemikian sehingga titik pangkal vektor  berimpit dengan titik ujung vektor  .

Perhatikan gambar 3 berikut ini.

Gambar 3:  +    

Selain itu,  +  dapat juga ditentukan dengan cara: meletakkan vektor   dan meletakkan vaktor  sedemikian sehingga titik pangkal vektor  berimpit dengan titik ujung vektor  . Perhatikan gambar 4 di bawah ini.

Gambar 4:  +     =     + 

Definisi 2:

Selisih vektor  dan  didefinisikan sebagai

Gambar 5 berikut ini adalah sketsa selisih vektor  dan .

Gambar 5:

Definisi 3:

Hasil kali  didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya  kali panjang . Jika maka  searah dengan , jika  maka   berlawanan arah dengan .  Perhatikan gambar 6 di bawah ini.

Gambar 6 :

Didefinisikan pula  jika atau .

Teorema 1:

Jika diketahui sebarang vektor-vektor tak nol , , dan ; sebarang skalar-skalar tak nol k dan l, maka berlaku:

1.       +    =     + 

2.       +    =     +   =

3.     

4.     

5.     

6.     

7.     

8.     

E.       Hasil Kali Titik Dua Vektor

Misalkan diketahui vektor-vektor tak nol  dan , yang telah diposisikan sedemikian sehingga titik-titik pangkal kedua vektor tersebut berimpit. Sudut antara vektor  dan , sebut a, memenuhi , seperti pada gambar 7 berikut.

Gambar 7 : Sudut antara vektor  dan

Definisi 4:

Misalkan diketahui sebarang vektor-vektor  dan , dan a adalah sudut antara vektor  dan .  Hasil kali titik (dot product) vektor   dengan vektor dinotasikan dengan  , didefinisikan sebagai

Perhatikan bahwa hasil kali titik dua vektor menghasilkan suatu skalar.

Contoh 3:

Jika diketahui vektor-vektor ,  di R³ dan sudut antara vektor  dan  adalah 60^o, maka tentukan .

Penyelesaian:

Diketahui , , dan a = 60^o.

Teorema 2:

Jika diketahui sebarang vektor-vektor dan  di R³, maka

Contoh 4:

Jika diketahui vektor-vektor    dan maka  

.

Teorema 3:

Jika diketahui sebarang vektor-vektor tak nol ; dan suatu skalar tak nol k  maka berlaku:

1.     

2.     

3.     

4.      dan

F.       Proyeksi Ortogonal suatu Vektor

Dalam banyak penerapan vektor, seringkali suatu vektor akan diuraikan menjadi penjumlahan dua vektor, dimana vektor pertama sepanjang/sejajar dengan vektor yang diketahui, dan vektor kedua tegak lurus/ortogonal dengan vektor yang diketahui. Hal ini dikenal sebagai proyeksi ortogonal suatu vektor.

Sebagai contoh, pada gambar 8, vektor  akan diuraikan sepanjang/sejajar vektor .

Gambar 8: Vektor  dan vektor

Proyeksi ortogonal vektor  pada vektor , dilakukan dengan cara memindahkan vektor  sedemikian sehingga titik pangkalnya berimpit dengan titik pangkal vektor . Tarik garis melalui titik ujung vektor  tegak lurus vektor , sebut garis g. Sebut vektor  adalah vektor yang memiliki titik pangkal yang sama dan memiliki titik ujung di titik potong garis g dengan vektor . Sebut vektor adalah suatu vektor yang memiliki titik pangkal yang sama dan sejajar garis g, seperti gambar 9 di bawah ini.

                                   Gambar 9 : Proyeksi ortogonal vektor  pada vektor         

Pada gambar 9 berdasarkan definisi selisih dua vektor, , dengan demikian .

Vektor  disebut proyeksi ortogonal vektor  pada vektor , dinotasikan dengan Proy_a .

Teorema 4:

Jika diketahui sebarang vektor-vektor tak nol  dan , maka

(i)       proyeksi ortogonal vektor  pada vektor  adalah

Proy_a =

(ii)     komponen vektor  yang ortogonal dengan vektor  adalah

 – Proy_a = –  

Contoh 5:

Jika diketahui vektor-vektor  dan maka tentukan:

a.    proyeksi ortogonal vektor  pada vektor

b.    komponen vektor  yang ortogonal dengan vektor

Penyelesaian:

Diketahui  vektor-vektor  dan

a.    proyeksi ortogonal vektor  pada vektor

Proy_a =

b.    komponen vektor  yang ortogonal dengan vektor

 – Proy_a =

G.      Hasil Kali Silang Dua Vektor

Selain menentukan proyeksi ortogonal suatu vektor, dapat pula dibentuk suatu vektor baru yang tegak lurus dengan dua vektor yang diketahui. Pada bagian ini akan dibahas mengenai suatu operasi perkalian vektor yang akan menghasilkan vektor baru. Operasi ini dikenal dengan nama hasil kali silang (cross product) dua vektor. Perhatikan bahwa hasil kali silang dua vektor menghasilkan suatu vektor.

Definisi 5:

Misalkan diketahui vektor-vektor tak nol dan  di R³. Hasil kali silang vektor  dengan vektor , dinotasikan dengan , didefinisikan sebagai

Dalam menentukan hasil kali silang vektor dengan  dapat dilakukan dengan cara membentuk matriks ordo 2 ´ 3 dengan vektor sebagai baris pertama dan vektor sebagai baris kedua, matriks ordo 2 ´ 3 yang dimaksud adalah

                                         (1)

(i)       Untuk menentukan komponen pertama , hilangkan kolom pertama matriks (1) kemudian tentukan determinan .

(ii)     Untuk menentukan komponen kedua , hilangkan kolom kedua matriks (1) kemudian tentukan determinan – .

(iii)   Untuk menentukan komponen ketiga , hilangkan kolom ketiga matriks (1) kemudian tentukan determinan .

Contoh 6:

Jika diketahui vektor-vektor dan maka tentukan .

Penyelesaian:

Diketahui vektor-vektor dan .

Bentuk matriks ordo 2 ´ 3 dengan vektor  sebagai baris pertama dan vektor  sebagai baris kedua. Matriks yang dimaksud adalah

(i)       Komponen pertama  adalah = (2)(1) – (–2)(0) = 2;

(ii)     komponen kedua  adalah = – [(1)(3) – (–2)(3)] = – 7;

(iii)   komponen ketiga  adalah = (1)(0) – (2)(3) = – 6.

Jadi .

Teorema 5:

Jika diketahui sebarang vektor-vektor tak nol ,  maka berlaku:

1.                                             ( ortogonal terhadap )

2.                                             ( ortogonal terhadap )

3.                           (Identitas Lagrange)

4.     

5.     

Teorema 6:

Jika diketahui sebarang vektor-vektor tak nol , dan sebarang skalar tak nol k  maka berlaku:

1.     

2.     

3.     

4.     

5.     

6.     

DAFTAR PUSTAKA

Anton H., (2000). Elementary Linear Algebra 7^th Edition. Drexel University Press.

Clapham, C. (1996). The Concise Oxford Dictionary of Mathematics 2^nd Edition. Oxford University Press.

Neill, H. & Quadling, D. (2007). Advanced Level Mathematics Pure Mathematics 2 & 3. Cambridge University Press.

Smedley R. & Wiseman G. (2001). Introducing Pure Mathematics 2^nd Edition. Oxford University Press.