gatotsunaryo: April 2013

Trigonometri Dasar

Trigonometri berasal dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur. Jadi Trigonometri adalah cabang ilmu matematika yang berhadapan dengan sudut segitiga dan trigonomertik seperti sinus, cosinus, dan tangen.

Dan pada kesempatan kali ini kita akan membahas tentang sinus, cosinus, dan tangen yang biasa disebut sin, cos, tan

Dari gambar diatas kita dapat beberapa persamaan dari sudut alpha

SINUS ALPHA

COSINUS ALPHA

TANGEN ALPHA

Dari Persamaan diatas dapat disimpulkan bahwa :

sinus = DE-MI

cosinus = SA-MI

tangen = DE-SA

Yang dimaksud Depan, Miring, Samping adalah sisi-sisi segitiga berdasarkan letak sudut.
Dapat dilihat dari gambar segitiga diatas sin alpha adalah sisi di depan sudut alpha dibagi sisi miring segitiga.

Dalam Trigonometri ada sudut sudut istimewa yaitu sudut (derajat) 0, 30, 45, 60, 90
Tabel sin, cos, dan tan sudut istimewa

http://muhar5yah.files.wordpress.com/2008/09/sudutistimewa.jpg

Data tabel diatas diambil/didapat dari segitiga dibawah ini :

Ayo kita buktikan
Kita akan membuktikan sinus 3o

JADI

Terbukti kan ?
Sekarang silahkan sobat buktikan sin, cos, dan tan sudut sudut istimewa pada tabel. Apakah benar ??

Sekarang kita akan mengerajakan soal
contoh soal :

Jika c = 120 cm dan alpha = 30 derajat, maka panjang AC sama dengan ?

Jawab : karena yang ditanya adalah panjang AC dan yang diketahui adalah sisi miring dan sudut alpha, maka kita akan menggunakan rumus cosinus.

Sinus dalam matematika adalah perbandingansisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi miring (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90^o). Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi sinus di atas maka nilai sinus adalah

$\sin A = {\mbox{a} \over \mbox{c}} \qquad \sin B = {\mbox{b} \over \mbox{c}}$

Nilai sinus positif di kuadran I dan II dan negatif di kuadran III dan IV.

Nilai sinus sudut istimewa

$\sin 0^o = 0\,$

$\sin 15^o = \frac {\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\,$

$\sin 30^o = \frac{1}{2}\,$

$\sin 37^o = \frac{3}{5}\,$

$\sin 45^o = \frac {\sqrt{2}}{2}\,$

$\sin 53^o = \frac{4}{5}\,$

$\sin 60^o = \frac {\sqrt{3}}{2}\,$

$\sin 75^o = \frac {\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\,$

$\sin 90^o = 1\,$

Kosinus atau cosinus (simbol: cos) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang terletak di sudut dengan sisi miring (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90^o). Perhatikan segitiga di kanan. Berdasarkan definisi kosinus di atas maka nilai kosinus adalah

$\cos A = {\mbox{b} \over \mbox{c}} \qquad \cos B = {\mbox{a} \over \mbox{c}}$

Nilai kosinus positif di kuadran I dan IV dan negatif di kuadran II dan III.

Nilai cosinus sudut istimewa

$\cos 0^o = 1\,$

$\cos 15^o = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\,$

$\cos 30^o = \frac{\sqrt{3}}{2}\,$

$\cos 37^o = \frac{4}{5}\,$

$\cos 45^o = \frac {\sqrt{2}}{2}\,$

$\cos 53^o = \frac{3}{5}\,$

$\cos 60^o = \frac {1}{2}\,$

$\cos 75^o = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\,$

$\cos 90^o = 0\,$

Tangen dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi segitiga yang terletak di sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90^o). Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi tangen di atas maka nilai tangen adalah

$\tan A = {\mbox{a} \over \mbox{b}} \qquad \tan B = {\mbox{b} \over \mbox{a}}$

Nilai tangen positif di kuadran I dan III dan negatif di kuadran II dan IV.

Hubungan Nilai Tangen dengan Nilai Sinus dan Cosinus

$\tan A = \frac{Sin A}{Cos A}\,$

Nilai Tangen Sudut Istimewa

$\tan 0^o = 0\,$

$\tan 15^o = 2 - \sqrt {3},$

$\tan 30^o = \frac{\sqrt {3}}{3}\,$

$\tan 37^o = \frac{3}{4}\,$

$\tan 45^o = 1\,$

$\tan 53^o = \frac{4}{3}\,$

$\tan 60^o = \sqrt{3}\,$

$\tan 75^o = 2 + \sqrt {3},$

$\tan 90^o = \infty\,$

RUMUS TRIGONOMETRI

I. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SUDUT

(1) sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B

(2) sin(A – B) = sin A cos B – cos A sin B

(3) cos(A + B) = cos A cos B – sin A sin B

(4) cos(A – B) = cos A cos B + sin A sin B

(5) tan(A + B) =

(6) tan(A – B) =

II. RUMUS SUDUT RANGKAP DAN SUDUT PERSETENGAHAN

1. RUMUS SUDUT RANGKAP.

(1) sin 2A = 2 sin A cos A

(2) cos 2A = cos²A – sin²A = 1 – 2 sin²A = 2 cos²A – 1

(3) tan 2A =

(4) sin 3A = 3 sin A – 4 sin³A

(5) cos 3A = 4 cos³A – 3 cos A

(6) tan 3A =

2. RUMUS SUDUT PERSETENGAHAN.

(1) sin

A =

(2) cos

(3) tan

III. RUMUS HASIL KALI SINUS DAN KOSINUS

(1) 2 sinA cos B = sin(A + B) + sin(A – B)

(2) 2 cos A sin B = sin(A + B) – sin(A – B)

(3) 2 cos A cos B = cos(A + B) + cos(A – B)

(4) 2 sin A sin B = - cos(A + B) + cos(A – B)

IV. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SINUS DAN KOSINUS

(1) sin A + sin B = 2 sin

(A + B) cos

(A – B )

(2) sin A – sin B = 2 cos

(A + B) sin

(A – B)

(3) cos A + cos B = 2 cos

(A + B) cos

(A – B)

(4) cos A – cos B = -2 sin

(A + B) sin

(A – B)

V. BENTUK a cos x + b sin x

a cos x + b sin x = k cos(x - )

i. k =

ii. tan

( i ) a(+), b(+) kw ( I )

(ii ) a(-) , b(+) kw (II ) (180 –

)

(iii) a(-) , b(-) kw (III) (180 +

)

(iv) a(+), b(-) kw (IV) (360 –

)

VI. Latihan Soal – soal Ujian Nasional (L’SUN)

1. Jika sin²A = 0,8 dan 90 < 2A < 180, maka nilai tan 2A = . . . . . .

2. Diketahui cos x =

dan 0 < x < 90 maka nilai sin x + sin 3x = . . . . . .

3. Bentuk : cosec x – cos x cot x ekuivalen dengan . . . . .

A. cos x B. sin x C. sec x D. cosec x E. tan x

4. Nilai dari : cos 105⁰ + cos 165⁰ = . . . . . .

5. Diketahui cos(A + B) =

dan cos A cos B =

, maka nilai tan A tan B = . . . . .

6. Jika x sudut di kuadran II dan tan x = -3, maka nilai sin 2x = . . . . .

7. Diketahui tan A =

, sin B =

dan A, B sudut lancip. Nilai cos(A + B) = . . . . .

8. Nilai dari : sin 75⁰ cos 15⁰ = . . . . . . .

9. Nilai dari :

= . . . . . .

A. -

B. -

10. Nilai dari :

= . . . . .

A. -

11. Nilai dari : sin 105⁰ + cos 15⁰ = . . . . . .

12. Nilai dari :

= . . . . . .

C. 2(

13. Nilai sin 45⁰ cos 15⁰ + cos 45⁰ sin 15⁰ = . . . . .

14. Diketahui cos(x – y) = 0,8 dan sin x sin y = 0,3 maka nilai tan x tan y = . . . . .

15. Jika cos²A = 0,9 dan 0 < 2A < 90, nilai tan 2A = . . . . .

E. 3

16. Nilai dari cos 255⁰ = . . . . . . .

17. Dalam segitiga ABC diketahui tan A = 3 dan tan B = 1 maka nilai tan C = . . . . .

B. 1 C. 2 D. 3 E. 4

18. Jika sin(x – 60⁰) = cos(x + 45⁰) maka nilai tan x = . . . . . .

A. 3 B.

C. 1 D.

19. Identitas dari :

= . . . .. ..

A. 2 tan A B. 2 tan B C.tan A D. tan B E. tan 2A

20. Dalam segitiga ABC diketahui tan(A + B) =

dan tan(B + C) =

Nilai tan(A + C) = . . . . . . .

A. 2 B. 1 C. 0 D. – 1 E. – 2

21. Jika tan x =

dan

maka tentukan nilai dari sin 4x = . . . . . .

22. Jika sin x + cos x =

maka nilai dari sin 2x = . . . . . .

23. Nilai dari cos⁴7,5⁰ – sin⁴7,5⁰ sama dengan . . . . .

24. Jika sin x – cos x =

maka nilai dari sin x + cos x = . . . . .

E. 1

25. Nilai dari : cos 36⁰ sin 18⁰ sama dengan . . . . . . .

26. Diketahui

maka nilai (p + q) = . . . . . .

A. – 8 B. – 4 C. 0 D. 4 E. 8

27. Bentuk identitas :

ekuivalen dengan . . . . .

A. sin 2x B. 2 sin x C. cos 2x D. 2 cos x E. tan 2x

28. Nilai dari :

= . . . . . . . .

A. -

E. 2

29. Jika (x + y) =

dan cos x cos y =

maka nilai dari 2 cos(x – y) = . . . . .

gatotsunaryo

Maandag 29 April 2013

Saterdag 06 April 2013

Meer oor my